Біофізика кровообігу: ламінарний потік еритроцитів і закон Гагена–Пуазейля для судин (Q ∝ R⁴)

«За законом Гагена–Пуазейля об’ємна швидкість кровотоку пропорційна четвертому степеню радіуса судини: зменшення просвіту артеріоли лише вдвічі знижує кровотік у шістнадцять разів.»

9–11 клас · Фізіологія кровообігу (закон Пуазейля)

Механізм явища

Гемодинаміка вивчає закони руху крові по судинному руслу під дією градієнта тиску Δ P = P₁ - P₂, створюваного скороченнями шлуночків серця. У більшості судин (крім висхідної аорти під час піку систоли) течія крові є ламінарною (число Рейнольдса Re = (2ρ v R)/(η) < 2000): шари крові ковзають один відносно одного без перемішування, утворюючи параболічний профіль швидкості v(r) = v_max(1 - r²/R²).

Рівняння і закони збереження

Інтегрування параболічного профілю за площею перерізу судини дає фундаментальний закон Гагена–Пуазейля: об’ємна швидкість кровотоку Q = (π Δ P R⁴)/(8η L) = fracΔ PR_гідр. Оскільки гідравлічний опір судини R_гідр = (8η L)/(π R⁴) обернено пропорційний четвертому степеню радіуса, саме тонус гладеньких м’язів дрібних артеріол («кранів судинної системи») є головним регулятором артеріального тиску та кровопостачання органів.

Вимірювання і застосування

В’язкість цільної крові η у 3..5 разів перевищує в’язкість води і експоненційно зростає зі збільшенням гематокриту (Ht), об’ємної частки еритроцитів (у нормі 40..48%). При патологічному звуженні судини атеросклеротичною бляшкою (стенозі) зменшення радіуса просвіту вдвічі знижує об’ємний кровотік у 2⁴ = 16 разів і спричиняє локальне прискорення струменя з переходом у турбулентність.

Теоретичне виведення та аналіз закону

Ламінарний рух в’язкої рідини (крові) у кровоносній судині має параболічний профіль швидкостей v(r) = (Δ P)/(4η L)(R² - r²): шар плазми безпосередньо біля ендотеліальної стінки (r = R) нерухомий, а на осі судини (r = 0) швидкість максимальна (v_max = (Δ P R²)/(4η L)), причому еритроцити концентруються в осьовому потоці (ефект Фареуса–Лінквіста). Інтегрування швидкості за перерізом дає закон Гагена–Пуазейля: Q = (π Δ P R⁴)/(8η L) = fracΔ PR_гідр. Надзвичайна чутливість кровотоку до радіуса (Q ∝ R⁴) є фундаментальним принципом фізіології: скорочення гладеньких м’язів артеріол лише на 16% знижує кровотік удвічі, а звуження просвіту вдвічі (R → R/2) зменшує кровопостачання органа у 2⁴ = 16 разів.

Методична вказівка до розрахунку

За законом Гагена–Пуазейля Q ∝ R⁴: при зменшенні радіуса судини R у 2 рази об’ємна швидкість кровотоку зменшується у 2⁴ = 16 разів.

Фізичні параметри установки та одиниці СІ

Внутрішній радіус кровоносної судини R (закон Пуазейля Q ∝ R⁴): 1 … 3 мм, типове значення 2 мм
Артеріо-венозний перепад тиску вздовж ділянки судини ΔP: 15 … 80 мм рт.ст., типове значення 40 мм рт.ст.
Гематокрит Ht (об’ємна частка еритроцитів, що визначає в’язкість η): 25 … 65 %, типове значення 45 %
Коефіцієнт локального судинного опору (1.0, чиста судина, 2.5, стеноз): 1 … 2.5 разів, типове значення 1 разів

Приклад із життя

Спробуй пити густий коктейль через широку трубочку і через вдвічі вужчу: здається, що буде лише вдвічі важче, але насправді потік падає аж у 2⁴ = 16 разів! Саме тому навіть невелике розширення чи звуження наших артеріол миттєво перенаправляє кров до м’язів або мозку.

Q = (π Δ P R⁴)/(8 η L), R_гідр = (8 η L)/(π R⁴), v(r) = v_max≤ft(1 - (r²)/(R²))

Питання

За законом Гагена–Пуазейля об’ємна швидкість ламінарного кровотоку через циліндричну судину радіуса R і довжини L визначається формулою Q = (π Δ P R⁴)/(8η L), де η, в’язкість крові. У скільки разів зменшиться об’ємний кровотік Q за незмінного перепаду тиску Δ P, якщо внаслідок судинного спазму або атеросклеротичної бляшки внутрішній радіус судини R зменшиться вдвічі?

Ваша відповідь Option B

Ламінарний рух в’язкої рідини (крові) у кровоносній судині має параболічний профіль швидкостей v(r) = (Δ P)/(4η L)(R² - r²): шар плазми безпосередньо біля ендотеліальної стінки (r = R) нерухомий, а на осі судини (r = 0) швидкість максимальна (vₘax = (Δ P R²)/(4η L)), причому еритроцити концентруються в осьовому потоці (ефект Фареуса–Лінквіста). Інтегрування швидкості за перерізом дає закон Гагена–Пуазейля: Q = (π Δ P R⁴)/(8η L) = (Δ P)/(R_гідр). Надзвичайна чутливість кровотоку до радіуса (Q ∝ R⁴) є фундаментальним принципом фізіології: скорочення гладеньких м’язів артеріол лише на 16% знижує кровотік удвічі, а звуження просвіту вдвічі (R → R/2) зменшує кровопостачання органа у 2⁴ = 16 разів.

Формула

Баланс енергії E = 0.0 J

Об’ємна швидкість кровотоку Q (×0.2 мл/с)

0.0 J

Осьова швидкість еритроцитів у центрі судини vₘax (см/с)

0.0 J

Гідравлічний опір судини потоку крові R_гідр (відн. од.)

0.0 J

Рис. Б-19. 3D-модель гемодинаміки артерії: двовігнуті диски еритроцитів в осьовому потоці, параболічний профіль векторів швидкості v(r), манометри градієнта тиску ΔP та гідравлічний опір R_гідр ∝ 1/R⁴.