§ 26. Електромагнітні коливання в контурі LC / RLC (11 клас)
Вільні електромагнітні коливання між конденсатором C та котушкою індуктивності L, формула Томпсона. У коливальному контурі енергія електричного поля конденсатора періодично перетворюється на енергію магнітного поля котушки зі струмом.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
Коливальний контур RLC, що складається з конденсатора ємністю C, котушки індуктивності L та активного опору R, є повною електродинамічною аналогією механічного пружинного маятника з тертям. Роль координати зміщення x відіграє заряд на обкладках конденсатора q(t), роль швидкості x, сила струму I(t) = q, роль маси m, індуктивність L («інерція» струму через ЕРС самоіндукції ℰₛ = -LI), а роль жорсткості k, обернена ємність 1/C.
За другим правилом Кірхгофа U_L + U_R + U_C = 0, що дає диференціальне рівняння вільних коливань: Lq + Rq + (1)/(C)q = 0. За відсутності опору (R = 0) у контурі відбуваються незатухаючі гармонічні коливання з власною частотою ω₀ = (1)/(√(LC)) і періодом, який визначається формулою Томсона (Кельвіна): T₀ = 2π√(LC).
Чотири рази за період відбувається взаємне перетворення енергії електричного поля конденсатора W_E = (q²)/(2C) = (1)/(2)CU² на енергію магнітного поля котушки W_B = (1)/(2)LI². Струм I(t) випереджає заряд q(t) за фазою на π/2: коли конденсатор повністю розряджений (q = 0), струм і магнітне поле в котушці досягають максимуму. При R > 0 енергія поступово розсіюється як джоулеве тепло P = I² R з коефіцієнтом загасання β = (R)/(2L).
Приклад із життя
Коливальний контур у радіоприймачі або смартфоні, це електричний брат звичайного маятника! Заряд на конденсаторі, як піднятий угору тягарець (потенціальна енергія E_C), а струм у котушці, як розігнаний тягарець унизу (магнітна «кінетична» енергія E_L).
Контрольне запитання та розв’язання
Ідеальний коливальний контур складається з конденсатора ємністю C та котушки індуктивністю L. У початковий момент конденсатор повністю заряджений (U = U₀, струм I = 0). Що відбувається в момент, коли конденсатор повністю розряджається (q = 0)?
- А: Струм у котушці також стає рівним нулю і коливання припиняються
- Б: Через явище самоіндукції струм у котушці досягає максимуму Iₘax = U₀√(C/L), а вся енергія контуру зосереджена в магнітному полі котушки W_B = (1)/(2)LIₘax²
- В: Період коливань залежить лише від початкової напруги U₀
Підказка: За формулою Томсона T = 2π√(LC) і за рахунок опору резистора R: куди поступово переходить електромагнітна енергія контуру при загасаючих коливаннях?
Доведення: Коли заряд на обкладках конденсатора спадає до нуля (q = 0, W_E = 0), за законом збереження енергії вся початкова електрична енергія (1)/(2)CU₀² переходить у магнітне поле котушки (1)/(2)LIₘax². Струм у цей момент є максимальним і завдяки самоіндукції продовжує текти, перезаряджаючи конденсатор протилежним знаком з періодом Томпсона T = 2π√(LC).
Основні формули та параметри 3D-симуляції
T = 2π√(LC), W_E,max = (C U₀²)/(2) = (L Iₘax²)/(2), Iₘax = U₀√((C)/(L))
- Індуктивність котушки L: 0.8 … 4 Гн (стандарт: 2 Гн)
- Електроємність конденсатора C: 0.8 … 4 мФ (стандарт: 2 мФ)
- Активний опір контуру R (згасання): 0 … 0.5 Ом (стандарт: 0.05 Ом)
- Початкова напруга на конденсаторі U₀: 2 … 8 В (стандарт: 5 В)