§ 17. Еліптична орбіта та ІІ закон Кеплера (10–11 клас)
Рух планети по еліптичній орбіті, секторна швидкість та обмін енергій у гравітаційному полі. Радіус-вектор планети за рівні проміжки часу описує рівні площі: у перигелії планета рухається найшвидше, а в афелії, найповільніше.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
Рух планет, комет і штучних супутників у центральному полі тяжіння масивного тіла M визначається законом всесвітнього тяжіння Ньютона F = -G(Mm)/(r³)r. Оскільки лінія дії центральної сили завжди проходить через центр Сонця, її момент відносно фокуса дорівнює нулю (M = [r × F] = 0), а отже, орбітальний момент імпульсу планети L = m[r × v] = const строго зберігається.
Із збереження моменту імпульсу безпосередньо випливає ІІ закон Кеплера (закон площ): площа сектора dS = (1)/(2)|[r × dr]|, яку замітає радіус-вектор планети за час dt, росте з постійною секторною швидкістю (dS)/(dt) = (L)/(2m) = const. Траєкторією зв’язаного руху (E < 0) є еліпс r(θ) = (a(1 - e²))/(1 + ecos θ) із великою піввіссю a та ексцентриситетом e ∈ [0, 1), у фокусі якого розташоване Сонце.
У перигелії (найближчій до Сонця точці, rₘin = a(1 - e)) гравітаційна потенціальна енергія Eₚ = -(GMm)/(r) є мінімальною, а орбітальна швидкість, максимальною: vₚ = √((GM)/(a)(1+e)/(1-e)). В афелії (rₘax = a(1 + e)) швидкість спадає до vₐ = √((GM)/(a)(1-e)/(1+e)), так що виконується співвідношення vₚ / vₐ = (1 + e)/(1 - e).
Приклад із життя
Як фігурист на льоду, що притискає руки до грудей і починає крутитися значно швидше, комета чи планета розганяється до максимуму, коли підлітає найближче до Сонця (у перигелії), і сповільнюється на дальній дузі орбіти!
Контрольне запитання та розв’язання
Планета рухається навколо зорі по витягнутій еліптичній орбіті з ексцентриситетом e > 0. Як змінюється орбітальна швидкість планети v під час її переходу від найближчої точки (перигелію rₚ) до найвіддаленішої точки (афелію rₐ)?
- А: Швидкість залишається сталою в усіх точках еліптичної орбіти
- Б: У перигелії швидкість максимальна vₚ = vₐ (1+e)/(1-e), а при віддаленні до афелію вона зменшується за законом збереження моменту імпульсу L = mvr_⊥
- В: В афелії швидкість планети максимальна через більший радіус орбіти
Підказка: За ІІ законом Кеплера (збереження моменту імпульсу r · v_⊥ = const): де швидкість планети максимальна, у найближчій точці до зорі (перигелії) чи у найвіддаленішій (афелії)?
Доведення: Гравітаційна сила F_g є центральною (її момент відносно зорі дорівнює нулю), тому момент імпульсу планети L = m v r sin α зберігається. Звідси випливає другий закон Кеплера: секторна швидкість dS/dt = L/(2m) є сталою. У перигелії відстань мінімальна rₚ = a(1-e), тому швидкість максимальна; в афелії rₐ = a(1+e) швидкість найменша.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
rₚ = a(1 - e), rₐ = a(1 + e), (vₚ)/(vₐ) = (1 + e)/(1 - e)
- Ексцентриситет орбіти e: 0 … 0.75 (стандарт: 0.45)
- Велика піввісь орбіти a: 3 … 5.6 а.о. (стандарт: 4.4 а.о.)
- Маса центральної зорі M: 0.8 … 2.5 M☉ (стандарт: 1.5 M☉)
- Маса планети m: 0.5 … 2.5 M⊕ (стандарт: 1 M⊕)