§ 19. Стоячі хвилі та обертони струни у 3D (9–11 клас)
Власні моди коливань закріпленої струни, вузли й пучності та залежність частоти від натягу. Накладання прямої та відбитої хвиль утворює стоячу хвилю з нерухомими вузлами та пучностями, де енергія затримується між опорами.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
Стояча хвиля утворюється внаслідок інтерференції двох когерентних зустрічних біжучих хвиль однакової амплітуди та частоти, що поширюються вздовж закріпленої на кінцях натягнутої струни довжиною L: y(x,t) = y₊(x - vt) + y₋(x + vt) = Asin (kx)cos (ω t). На відміну від біжучої хвилі, стояча хвиля не переносить енергію вздовж струни, енергія замкнена в кожній півхвилі між нерухомими точками.
Граничні умови жорсткого закріплення кінців y(0,t) = y(L,t) = 0 вимагають, щоб на довжині струни L укладалося ціле число півхвиль: L = n(λₙ)/(2) (n = 1, 2, 3, …). Оскільки фазова швидкість поперечної хвилі в струні з силою натягу T і лінійною густиною μ = m/L становить v = √(T/μ), власні резонансні частоти (гармоніки) утворюють дискретний спектр: fₙ = (n)/(2L)√((T)/(μ)) = n f₁.
Мода n = 1 називається основним тоном, а моди з n ≥ 2, обертонами. Кожна n-та гармоніка має n + 1 нерухомих вузлів (де амплітуда завжди нульова, але деформація нахилу максимальна) та n пучностей (де швидкість і амплітуда коливань максимальні). Саме спектр обертонів формує тембр усіх струнних музичних інструментів і слугує класичним прототипом квантування рівнів енергії у квантовій механіці.
Приклад із життя
Смикаєш гітарну струну або крутиш скакалку разом із другом: хвиля біжить до закріпленого кінця, відбивається назад і накладається сама на себе. Виникають нерухомі точки («вузли») і місця максимального розмаху («пучності»), так звучать усі музичні інструменти!
Контрольне запитання та розв’язання
На гітарній струні довжиною L, закріпленій з обох кінців, збуджено n-ту гармоніку стоячої хвилі (n = 3). Скільки пучностей (точок максимальної амплітуди) утворюється вздовж струни і як зміниться частота тону fₙ, якщо силу натягу T збільшити у 4 рази?
- А: Утвориться 3 пучності, а частота fₙ зросте у 2 рази, оскільки fₙ ∝ √(T)
- Б: Утвориться 1 пучність, а частота збільшиться в 4 рази
- В: Кількість пучностей і частота не залежать від номера гармоніки n та натягу T
Підказка: Скільки півхвиль λ/2 вкладається на довжині струни L для n-ї гармоніки (L = n(λ)/(2)), і скільки пучностей при цьому утворюється?
Доведення: Для струни, закріпленої на кінцях, умова стоячої хвилі вимагає L = n(λₙ)/(2), тому номер гармоніки n безпосередньо дорівнює кількості пучностей (і на одиницю менший за загальну кількість вузлів разом із кінцями n+1). Оскільки фазова швидкість хвилі v = √(T/μ), збільшення натягу T в 4 рази підвищує швидкість і власну частоту fₙ = (n)/(2L)√((T)/(μ)) рівно вдвічі.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
λₙ = (2L)/(n), v = √((T)/(μ)), fₙ = (n)/(2L)√((T)/(μ))
- Номер гармоніки (число пучностей) n: 1 … 6 (стандарт: 3)
- Сила натягу струни T: 15 … 90 Н (стандарт: 45 Н)
- Лінійна густина струни μ: 0.5 … 3.5 г/м (стандарт: 1.5 г/м)
- Амплітуда пучності A: 0.4 … 1.6 м (стандарт: 1.1 м)