§ 4. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту (9–10 клас)
Парабола у вакуумі та балістична крива з опором повітря. Балістичний рух у полі тяжіння є суперпозицією рівномірного руху вздовж горизонтальної осі Ox та рівноприскореного вздовж вертикальної осі Oy.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
Балістичний рух тіла, кинутого під кутом α до горизонту зі швидкістю v₀, є класичним прикладом принципу незалежності рухів Галілея. У вакуумі (k = 0) вздовж горизонтальної осі Ox діють нульові сили, тому проєкція швидкості vₓ = v₀cos α = const, а вздовж вертикальної осі Oy тіло здійснює рівноприскорений рух під дією сили тяжіння з прискоренням a_y = -g.
Виключення часу t = (x)/(v₀cos α) з кінематичних рівнянь x(t) = v₀cos α · t та y(t) = v₀sin α · t - (1)/(2)gt² дає рівняння параболи безпеки: y(x) = xtan α - (gx²)/(2v₀²cos ²α). Повний час польоту становить t_польоту = (2v₀sin α)/(g), максимальна висота підйому H = (v₀²sin ²α)/(2g), а горизонтальна дальність L = (v₀²sin (2α))/(g) досягає максимуму при α = 45^°.
При врахуванні опору повітря (F_оп = -kv) рівняння руху по осях стають зв’язаними через дисипацію: горизонтальна швидкість спадає експоненціально vₓ(t) = v₀xe⁻(k/m)t, низхідна гілка траєкторії стає крутішою за висхідну (балістична крива Тартальї), а оптимальний кут максимальної дальності зміщується в область α < 45^°.
Приклад із життя
Коли ти кидаєш баскетбольний м’яч у кільце або пускаєш струмінь води зі шланга, у вакуумі ідеальний кут для найдальшого польоту, 45^°. Але в реальному повітрі вітер і опір середовища гальмують м’яч, скорочуючи дальність!
Контрольне запитання та розв’язання
Тіло кинуто під кутом θ = 45^° до горизонту у вакуумі (c_d = 0). Яке значення має кінетична енергія тіла Eₖ у найвищій точці траєкторії порівняно з початковою Eₖ0 = (1)/(2)mv₀²?
- А: У верхній точці Eₖ = 0, оскільки тіло миттєво зупиняється
- Б: У верхній точці v_y = 0, але vₓ = v₀cos 45^°, тому Eₖ = Eₖ0cos ² 45^° = (1)/(2)Eₖ0
- В: Кінетична енергія у верхній точці дорівнює початковій Eₖ0
Підказка: Порівняй пунктирну параболу (у вакуумі) та суцільну криву (в повітрі): куди переходить кінетична енергія ядра, коли діє сила опору повітря F_оп = -kv?
Доведення: У вершині параболи зникає лише вертикальна складова швидкості (v_y = 0), а горизонтальна складова vₓ = v₀cos θ залишається незмінною. Тому кінетична енергія у вершині становить Eₖ,min = (1)/(2)m(v₀cos θ)² = Eₖ0cos ²θ.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
v_верш = vₓ = v₀cos θ, Eₖ,min = Eₖ0cos ²θ
- Початкова швидкість v₀: 6 … 15 м/с (стандарт: 11.5 м/с)
- Кут кидання θ: 15 … 80 ° (стандарт: 45 °)
- Початкова висота h₀: 0.2 … 4.5 м (стандарт: 1.2 м)
- Коефіцієнт опору повітря c_d: 0 … 0.15 кг/м (стандарт: 0 кг/м)
- Маса тіла m: 0.5 … 5 кг (стандарт: 1.5 кг)