§ 27. Машина Атвуда: прискорення та натяг нитки (9–10 клас)
Рух зв’язаних тіл на невагомій нитці через масивний блок з моментом інерції I. Якщо блок має скінченний момент інерції I, сили натягу нитки з обох боків є різними, створюючи обертальний момент.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
Машина Атвуда, винайдена Джорджем Атвудом у 1784 році, є класичним приладом для прецизійного дослідження законів динаміки Ньютона в умовах «сповільненої гравітації». Два вантажі масами m₁ і m₂, зв’язані нерозтяжною ниткою, перекинутою через блок радіусом R і масою Mₚ, рухаються з однаковим за модулем лінійним прискоренням a = ε R.
Запишемо ІІ закон Ньютона для кожного вантажу та основне рівняння динаміки обертального руху для блока з моментом інерції I = (1)/(2)Mₚ R²: m₁ g - T₁ = m₁ a, T₂ - m₂ g = m₂ a та (T₁ - T₂)R = Iε = (1)/(2)Mₚ R a. Додаючи ці три рівняння, отримуємо точну формулу прискорення системи: a = ((m₁ - m₂)g)/(m₁ + m₂ + (1)/(2)Mₚ).
Зверніть увагу на принципову деталь: якщо блок має масу (Mₚ > 0), сили натягу нитки по обидва боки блока не рівні між собою (T₁ > T₂ при m₁ > m₂), бо саме різниця моментів (T₁ - T₂)R розкручує масивний шків! Підбираючи близькі маси m₁ ≈ m₂, можна зробити прискорення a ≪ g як завгодно малим і детально виміряти закон рівноприскореного руху h = (1)/(2)at².
Приклад із життя
Саме так працює ліфт із противагою у багатоповерхівці! Оскільки два вантажі m₁ і m₂ зв’язані одним тросом через блок, рушійна сила залежить лише від різниці їхніх мас (m₁ - m₂)g, тому система рухається плавно й повільно, дуже зручно для точних вимірювань!
Контрольне запитання та розв’язання
На машині Атвуда підвішено два вантажі з масами m₁ > m₂ через однорідний суцільний блок масою M_б. Як співвідносяться сили натягу нитки T₁ (біля важчого вантажу) та T₂ (біля легшого вантажу) під час прискореного руху?
- А: Натяги однакові T₁ = T₂ = (2m₁ m₂)/(m₁ + m₂)g незалежно від маси блока
- Б: Натяг біля важчого тіла більший (T₁ > T₂), оскільки різниця (T₁ - T₂)R = Iε розкручує масивний блок, але при цьому m₂ g < T₂ < T₁ < m₁ g
- В: Натяг T₁ дорівнює вазі m₁ g, а T₂ дорівнює m₂ g
Підказка: Рушійна сила системи дорівнює (m₁ - m₂)g, але прискорювати доводиться сумарну масу обох тіл і блока (m₁ + m₂ + I/R²). Чи буде прискорення a меншим за g?
Доведення: Щоб важчий вантаж m₁ опускався з прискоренням a вниз, має виконуватися m₁ g > T₁. Щоб легший вантаж m₂ підіймався вгору з тим самим прискоренням a, має бути T₂ > m₂ g. А щоб масивний блок набував кутового прискорення ε = a/R, потрібна додатна різниця моментів сил (T₁ - T₂)R = Iε, звідки m₂ g < T₂ < T₁ < m₁ g.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
a = ((m₁ - m₂)g)/(m₁ + m₂ + (1)/(2)M_б), T₁ = m₁(g - a), T₂ = m₂(g + a)
- Маса лівого вантажу m₁: 1 … 5 кг (стандарт: 3.2 кг)
- Маса правого вантажу m₂: 1 … 5 кг (стандарт: 1.8 кг)
- Маса шківа блока M_б: 0 … 4 кг (стандарт: 1 кг)
- Радіус блока R: 0.5 … 1.2 м (стандарт: 0.8 м)