§ 41. Броунівський рух та дифузія Ейнштейна–Смолуховського (8–10 клас)
Хаотична траєкторія завислої мікрочастинки під ударами молекул рідини та лінійне зростання середнього квадрата зміщення ⟨r²⟩ = 6Dt. Видиме тремтіння броунівської зернини є прямим макроскопічним доказом теплового руху невидимих молекул.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
Броунівський рух (відкритий ботаніком Робертом Броуном у 1827 р.), це невпинний хаотичний зигзагоподібний рух мікроскопічних зважених частинок (пилку, колоїдних кульок радіусом r sim 0.1–1 мкм) у рідині або газі. Через малий розмір броунівської частинки імпульси мільйонів теплових ударів молекул рідини з різних боків у кожен малий інтервал часу не компенсують один одного, створюючи випадкову флуктуаційну силу Ланжевена F_фл(t).
Оскільки всі напрямки теплових поштовхів рівноймовірні, середній вектор зміщення частинки дорівнює нулю (langle r(t) rangle = 0). Проте середній квадрат відстані частинки від початкової точки не зануляється! У 1905 році Альберт Ейнштейн і Маріан Смолуховський довели фундаментальний закон дифузії: середній квадрат зміщення прямо пропорційний часу спостереження t: langle r²(t) rangle = 2 d_вим D t (для 2D-площини langle r² rangle = 4Dt, для 3D-простору langle r² rangle = 6Dt).
Коефіцієнт дифузії D визначається співвідношенням Ейнштейна–Стокса: D = (k_B T)/(6π η r) = (R T)/(6π η r N_A), яке пов’язує макроскопічну в’язкість η і температуру T зі сталою Авогадро N_A. Блискучі експерименти Жана Перрена (1908 р.) з вимірювання langle r² rangle броунівських кульок гумігуту підтвердили формулу Ейнштейна і стали остаточним прямим доказом реального існування атомів і молекул!
Приклад із життя
Якщо подивитися в мікроскоп на крихітну пилинку або краплинку молока у воді, вона безперервно смикається й танцює зигзагами! Це тому, що невидимі молекули води щомиті бомбардують пилинку з різних боків нерівномірно, прямий візуальний доказ існування теплового руху молекул!
Контрольне запитання та розв’язання
Як залежить середньоквадратичне віддалення броунівської частинки від початкової точки √(langle r² rangle) від часу спостереження t та в’язкості середовища η?
- А: Пропорційне кореню квадратному з часу √(t) та обернено пропорційне √(η), оскільки langle r² rangle = 6Dt = (k_B T)/(π η a)t
- Б: Зростає лінійно з часом t, як при рівномірному прямолінійному русі
- В: Залишається сталим і рівним нулю в будь-який момент часу
Підказка: За формулою Ейнштейна–Смолуховського langle r² rangle = 2dDt, де D = (k_B T)/(6πη a): як змінюється інтенсивність броунівського блукання при підвищенні температури T або зменшенні розміру частинки a?
Доведення: Оскільки удари молекул з різних боків статистично незалежні, додаються не самі зміщення, а їхні квадрати (дисперсії): langle r² rangle = 6Dt, де коефіцієнт дифузії Ейнштейна D = (k_B T)/(6πη a) зростає з температурою T і спадає при збільшенні радіуса частинки a та в’язкості η.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
langle r² rangle = 6 D t, D = (k_B T)/(6π η a)
- Абсолютна температура рідини T: 250 … 450 К (стандарт: 310 К)
- Радіус броунівської частинки a: 0.5 … 2.5 мкм (стандарт: 1 мкм)
- Динамічна в’язкість середовища η: 0.5 … 3 мПа·с (стандарт: 1 мПа·с)