§ 24. Рух кулі у в’язкій рідині (Закон Стокса) (10 клас · ВНЗ)
Падіння кульки у в’язкому маслі, сила в’язкого тертя Стокса та встановлення усталеної швидкості. Коли сума сили Архімеда та сили в’язкого опору Стокса зрівноважує силу тяжіння, прискорення зникає і куля падає зі сталою граничною швидкістю.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
Коли тверда сферична кулька радіусом r і густиною ρₛ опускається у в’язкій рідині густиною ρ_f за малих чисел Рейнольдса (Re = (2ρ_f v r)/(η) ≪ 1), обтікання є плавним і ламінарним (без відриву вихорів). Причиною внутрішнього тертя рідини є перенесення імпульсу між сусідніми шарами, що рухаються з різними швидкостями.
Джордж Габріель Стокс (1851 р.), розв’язавши рівняння гідродинаміки Нав’є, Стокса для повільного обтікання сфери, вивів формулу сили в’язкого опору (закон Стокса): F_c = -6π η r v, де η, динамічна в’язкість рідини (у Па·с). Рівняння руху кульки вздовж вертикалі має вигляд m(dv)/(dt) = (ρₛ - ρ_f)(4)/(3)π r³ g - 6π η r v.
На початку падіння (v ≈ 0) кулька прискорюється, але зі зростанням швидкості сила Стокса F_c ∝ v лінійно збільшується, поки повністю не зрівноважить ефективну вагу кульки у рідині (F_тяж = F_A + F_c). Після цього прискорення стає нульовим і встановлюється гранична (термінальна) швидкість осідання: v_терм = (2 r² g (ρₛ - ρ_f))/(9η). Цей метод лежить в основі віскозиметра Стокса та знаменитого досліду Міллікена з вимірювання заряду електрона.
Приклад із життя
Упусти металеву кульку в банку з густим медом або гліцерином: вона розганяється лише першу мить, а далі пливе вниз із напрочуд постійною швидкістю! Так само парашутист або дощова крапля в повітрі досягає граничної швидкості, коли опір середовища врівноважує тяжіння.
Контрольне запитання та розв’язання
Сталева кулька радіусом r опускається у високий циліндр із в’язким гліцерином (η). Як зміниться усталена (гранична) швидкість падіння кульки v_уст, якщо взяти кульку з того самого матеріалу, але з удвічі більшим радіусом 2r?
- А: Гранична швидкість не зміниться, бо всі тіла падають однаково
- Б: Оскільки маса та виштовхувальна сила ростуть пропорційно об’єму r³, а сила опору Стокса F_c = 6πη r v, лише пропорційно r, гранична швидкість зросте в 4 рази (v_уст ∝ r² / η)
- В: Більша кулька падатиме повільніше через більший опір середовища
Підказка: Коли сила в’язкого тертя Стокса F_S = 6πη r v зрівнюється з результуючою силою тяжіння й Архімеда, чому дорівнює прискорення кульки a і як далі рухається тіло?
Доведення: На кульку в рідині діють три сили: тяжіння F_g = (4)/(3)π r³ ρ_т g вниз, сила Архімеда F_A = (4)/(3)π r³ ρ_р g вгору та сила в’язкого опору Стокса F_c = 6πη r v вгору. В усталеному режимі F_g - F_A = F_c, звідки формула Стокса для граничної швидкості: v_уст = (2 r² g (ρ_т - ρ_р))/(9η). Отже, v_уст пропорційна квадрату радіуса r² і обернено пропорційна в’язкості η.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
F_c = 6πη r v, v_уст = (2 r² g (ρ_т - ρ_р))/(9η), v(t) = v_уст≤ft(1 - e⁻t/τ )
- Радіус кульки r: 0.25 … 0.65 см (стандарт: 0.42 см)
- Динамічна в’язкість рідини η: 0.4 … 2.8 Па·с (стандарт: 1.2 Па·с)
- Густина матеріалу кулі ρ_тіла: 1500 … 4000 кг/м³ (стандарт: 2600 кг/м³)
- Густина в’язкої рідини ρ_рід: 700 … 1250 кг/м³ (стандарт: 950 кг/м³)