§ 43. Ефект Комптона та релятивістський імпульс фотона (11 клас · ВНЗ)
Пружне зіткнення рентгенівського фотона з вільним електроном, збільшення довжини хвилі Δλ = λ_C (1 − cos θ) та імпульс віддачі. Розсіяння рентгенівських квантів за законами більярдних куль довело, що фотон несе не лише енергію hν, а й імпульс h/λ.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
У 1923 році Артур Комптон досліджував розсіяння жорсткого рентгенівського та γ-випромінювання на легких речовинах (графіті) і виявив, що розсіяне під кутом θ випромінювання має більшу довжину хвилі λ' > λ₀, причому зсув Δλ = λ' - λ₀ не залежить від матеріалу мішені, а визначається виключно кутом розсіяння θ. У межах класичної електродинаміки Томсона (де електрон розгойдується полем хвилі і випромінює на тій самій частоті λ' = λ₀) пояснити це явище було неможливо.
Комптон розрахував процес як пружне релятивістське зіткнення корпускули-фотона з енергією E₀ = (hc)/(λ₀) та імпульсом p₀ = (h)/(λ₀) із майже вільним нерухомим електроном (енергія спокою mₑ c² ≈ 511 кеВ). Із релятивістських законів збереження енергії E₀ + mₑ c² = E' + √(pₑ² c² + mₑ² c⁴) та векторного імпульсу p₀ = p' + pₑ випливає знаменита формула Комптона: Δλ = λ' - λ₀ = λ_C (1 - cos θ).
Фундаментальна константа λ_C = (h)/(mₑ c) ≈ 2.426 пм (2.426× 10⁻¹² м) називається комптонівською довжиною хвилі електрона. При розсіянні назад (θ = 180^°, cos θ = -1) фотон передає електрону віддачі максимальну частку своєї енергії, а його довжина хвилі зростає на подвійну комптонівську величину Δλₘax = 2λ_C ≈ 4.85 пм. Дослід Комптона став вирішальним доказом того, що фотон переносить не лише квант енергії hν, а й реальний механічний імпульс p = ℏk.
Приклад із життя
Квантовий більярд! Коли високоенергетичний рентгенівський фотон налітає на електрон, він штовхає його точнісінько як пружна більярдна куля. Віддавши частину своєї енергії електрону віддачі, відскочений фотон втрачає частоту, тобто його довжина хвилі λ' стає більшою!
Контрольне запитання та розв’язання
При якому куті розсіяння θ комптонівське збільшення довжини хвилі фотона Δλ = λ_C(1 - cos θ) є максимальним і чому воно дорівнює?
- А: При зворотному розсіянні на кут θ = 180^° (cos 180^° = -1): зсув максимальний і дорівнює подвоєній комптонівській довжині хвилі Δλₘax = 2λ_C ≈ 4.85 пм
- Б: При розсіянні вперед під кутом θ = 0^°
- В: Зсув довжини хвилі Δλ не залежить від кута розсіяння θ
Підказка: За формулою Комптона Δλ = λ' - λ₀ = λ_C(1 - cos θ): при якому куті розсіювання θ збільшення довжини хвилі фотона та енергія електрона віддачі є максимальними?
Доведення: Оскільки Δλ = λ_C(1 - cos θ), де λ_C = (h)/(mₑ c) = 2.426 пм, функція 1 - cos θ набуває найбільшого значення 2 при лобовому відбитті фотона назад (θ = 180^°). При цьому електрон отримує максимальну кінетичну енергію віддачі.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
Δλ = λ' - λ₀ = λ_C (1 - cos θ), λ_C = 2.426 пм
- Початкова довжина хвилі рентгену λ₀: 2 … 12 пм (стандарт: 5 пм)
- Кут розсіяння фотона θ: 15 … 180 ° (стандарт: 90 °)
- Частота зіткнень у мішені: 0.8 … 2.4 Гц (стандарт: 1.4 Гц)