§ Х-1 Будова електронних оболонок атома та 3D-орбіталі (s, p, d) (8–11 клас · Хімія)
Хвильова функція Шредінгера |ψ|², квантові числа n, l та вузлові поверхні. Електрон в атомі не рухається класичною траєкторією, а утворює тривимірну хвильову хмару густини ймовірності |ψ(r,θ,φ)|², форма якої визначається квантовими числами n, l, mₗ.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
У квантовій механіці стан електрона в кулонівському полі ядра описується стаціонарним рівнянням Шредінгера Hψₙ,l,mₗ(r,θ,φ) = Eₙψₙ,l,mₗ(r,θ,φ). Хвильова функція розпадається на добуток радіальної частини Rₙ,l(r) та сферичної гармоніки Yₗ,mₗ(θ,φ). Фізичний зміст має квадрат модуля хвильової функції |ψ|²: величина dP = |ψ(r,θ,φ)|² dV визначає ймовірність виявити електрон в елементі об’єму dV.
Просторовий розподіл електронної хмари однозначно задається трьома квантовими числами: головне квантове число n = 1, 2, 3, … визначає повну енергію Eₙ = -(Z_еф²· 13.6 еВ)/(n²) і середній розмір орбіталі; орбітальне (побічне) число l = 0, 1, …, n-1 визначає модуль орбітального моменту L = ℏ√(l(l+1)) і геометрію хмари (l=0, сферично-симетрична s-орбіталь, l=1, гантелеподібна p-орбіталь, l=2, чотирипелюсткова d-орбіталь); магнітне число mₗ ∈ [-l, +l] задає орієнтацію орбіталі у просторі.
Повна кількість вузлових поверхонь, на яких електронна густина строго обертається на нуль (|ψ|² = 0), дорівнює N_вузлів = n - 1. З них l поверхонь є кутовими (площинними або конічними) вузлами, які проходять крізь ядро й визначають форму пелюсток, а решта n - l - 1 є радіальними сферичними вузлами, що концентрично розділяють внутрішні та зовнішні шари електронної хмари.
Приклад із життя
Уяви лопаті вентилятора, що обертаються на величезній швидкості: ти не бачиш окремої лопаті в конкретній точці, а бачиш напівпрозору розмиту «хмару», де вона буває найчастіше. Саме так електрон в атомі утворює тривимірну квантову хмару ймовірності |ψ|²: кулясту s-хмару, гантельку p-хмари або чотирипелюсткову квітку d-орбіталі!
Контрольне запитання та розв’язання
Як визначається форма електронної орбіталі (сферична s, гантелеподібна p, чотирипелюсткова d) та загальна кількість вузлових поверхонь, де густина ймовірності |ψ|² = 0?
- А: Форма орбіталі визначається побічним (орбітальним) квантовим числом l (l=0→ s, l=1→ p, l=2→ d), а повне число вузлових поверхонь дорівнює n - 1
- Б: Форма орбіталі залежить лише від спінового квантового числа mₛ = ± 1/2, а вузлових поверхонь в атомі не існує
- В: Усі електронні орбіталі мають форму пласких кілець однакового радіуса незалежно від чисел n та l
Підказка: Зверни увагу на побічне квантове число l: при l=0 (s) кутових вузлів немає і хмара сферична; при l=1 (p) з’являється 1 вузлова площина (дві пелюстки гантелі); при l=2 (d), 2 вузлові площини. А загальна кількість усіх вузлових поверхонь завжди дорівнює n - 1.
Доведення: Розв’язок рівняння Шредінгера в сферичних координатах розпадається на радіальну частину Rₙ,l(r) та кутові сферичні гармоніки Yₗ^m(θ,φ). Орбітальне квантове число l визначає симетрію хмари та число кутових вузлових площин (l), тоді як головне квантове число n задає енергію рівня Eₙ і загальну кількість вузлових поверхонь n - 1.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
|ψₙ,l,m(r,θ,φ)|² = |Rₙ,l(r)|² · |Yₗ^m(θ,φ)|², r_макс ≈ (n² a₀)/(Z_еф)
- Головне квантове число n (енергетичний рівень): 1 … 3 (стандарт: 2)
- Орбітальне квантове число l (0=s, 1=p, 2=d): 0 … 2 (стандарт: 1)
- Ефективний заряд ядра Z_еф: 1 … 3 e (стандарт: 1 e)
- Масштаб інтенсивності 3D-хмари |ψ|²: 0.6 … 1.5 × (стандарт: 1 ×)