§ 37. Зв’язані маятники: нормальні моди та явище биття (11 клас · ВНЗ)
Періодичне перетікання механічної енергії між двома маятниками, з’єднаними пружною пружиною. Будь-який рух лінійної зв’язаної системи є суперпозицією її фундаментальних нормальних мод.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
Два однакові математичні маятники масою m і довжиною L, з’єднані легкою пружиною жорсткості k, утворюють класичну лінійну коливальну систему з двома ступенями вільності: mx₁ = -(mg)/(L)x₁ - k(x₁ - x₂) та mx₂ = -(mg)/(L)x₂ - k(x₂ - x₁). Коливання одного маятника деформують пружину і періодично підштовхують другий маятник.
Перехід до нормальних координат q₊ = x₁ + x₂ та q₋ = x₁ - x₂ розщеплює зв’язану систему на дві незалежні нормальні моди: 1) синфазну моду (x₁ = x₂), де пружина не розтягується і частота дорівнює ω₁ = √((g)/(L)); 2) протифазну моду (x₁ = -x₂), де пружина стискається вдвічі сильніше і частота зростає до ω₂ = √((g)/(L) + (2k)/(m)).
Якщо відхилити лише перший маятник (x₁(0) = A, x₂(0) = 0), збуджується рівна суперпозиція обох нормальних мод: x₁(t) = Acos ≤ft((ω₂ - ω₁)/(2)t )cos (ωt) та x₂(t) = Asin ≤ft((ω₂ - ω₁)/(2)t )sin (ωt). Виникає явище биття: з періодом повного перекачування енергії T_биття = (2π)/(ω₂ - ω₁) перший маятник повністю зупиняється, віддаючи 100% своєї енергії другому, після чого процес повторюється у зворотному напрямку!
Приклад із життя
Повісь дві однакові гойдалки на спільну гнучку перекладину або з’єднай два маятники легкою пружинкою! Відштовхни лише перший маятник, і через кілька секунд він повністю зупиниться, передавши всю свою енергію другому, а потім енергія так само повернеться назад!
Контрольне запитання та розв’язання
Як зміниться період повного перетікання енергії між маятниками (період биття T_б = (2π)/(ω₂ - ω₁)), якщо збільшити жорсткість з’єднувальної пружини κ?
- А: Період биття T_б зменшиться: сильніший пружний зв’язок збільшує розщеплення нормальних частот ω₂ - ω₁, тому обмін енергією відбувається швидше
- Б: Період биття T_б зросте пропорційно жорсткості κ
- В: Частота обміну енергією залежить лише від довжини ниток L і не залежить від пружини
Підказка: Битися між двома зв’язаними маятниками виникають через додавання двох нормальних мод із частотами ω₁ та ω₂. Як зміниться частота перекачування енергії ω_бит = ω₂ - ω₁, якщо збільшити жорсткість пружини k_c?
Доведення: Синфазна мода коливається з частотою ω₁ = √(g/L) (пружина не деформується), а протифазна, з частотою ω₂ = √(g/L + 2κ/m). Збільшення жорсткості пружини κ збільшує різницю частот Δω = ω₂ - ω₁, тому період биття T_б = 2π / Δω скорочується.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
x₁(t) ∝ cos ≤ft((ω₂ - ω₁)/(2)t )cos (ωt), Δω = ω₂ - ω₁
- Довжина підвісу маятників L: 1.6 … 3.6 м (стандарт: 2.6 м)
- Жорсткість пружини зв’язку κ: 0.4 … 5 Н/м (стандарт: 1.8 Н/м)
- Маса кожного тягарця m: 0.8 … 3 кг (стандарт: 1.5 кг)
- Режим (0 = биття, 1 = синфазна, -1 = протифазна): -1 … 1 (стандарт: 0)