§ 8. Ідеальний газ під поршнем (Рівняння Менделєєва–Клапейрона) (10 клас)
Рівняння Менделєєва–Клапейрона PV = νRT та тепловий рух молекул. Тиск газу на стінки посудини та поршень зумовлений сумарним імпульсом незліченних пружних ударів молекул, що перебувають у хаотичному тепловому русі.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
З погляду молекулярно-кінетичної теорії (МКТ), макроскопічний тиск газу P є результатом мільярдів пружних ударів хаотично рухомих молекул об стінки циліндра та рухомий поршень. Середня кінетична енергія поступального руху однієї молекули прямо пропорційна абсолютній температурі: langle εₖ rangle = (3)/(2)k_B T, де k_B = 1.38× 10⁻²³ Дж/К, стала Больцмана.
Основне рівняння МКТ P = n k_B T = (1)/(3)n m₀ langle v² rangle при переході до кількості речовини ν = N / N_A дає рівняння стану ідеального газу Менделєєва–Клапейрона: PV = ν R T, де R = k_B N_A = 8.314 Дж/(моль·К). Внутрішня енергія одноатомного ідеального газу визначається лише його температурою: U = (3)/(2)ν R T = (3)/(2)PV.
У нашій 3D-установці при фіксованій кількості газу ν ви можете дослідити ізотермічне стиснення Бойля–Маріотта (T = const ⇒ P ∝ 1/V) та ізохорний чи ізобарний нагрів Гей-Люссака / Шарля: підвищення температури T збільшує середню квадратичну швидкість частинок v_кв = √(3RT/M) і змушує газ виконувати додатну термодинамічну роботу A = ∫ P dV.
Приклад із життя
Уяви рій невидимих пружних м’ячиків у накачаній велосипедній шині або повітряній кульці. Якщо нагріти кульку на сонці або стиснути насосом, молекули б’ються об стінки частіше й сильніше, це і є тиск газу!
Контрольне запитання та розв’язання
Ідеальний газ міститься у вертикальному циліндрі під важким рухомим поршнем постійної маси (P = P₀ + Mg/S = const). Як зміниться об’єм газу V та середня квадратична швидкість молекул при нагріванні абсолютного значення температури T у 2 рази?
- А: Об’єм V не зміниться, а тиск зросте вдвічі
- Б: За законом Гей-Люссака (P = const) об’єм V зросте вдвічі, а швидкість молекул v_кв ∝ √(T) зросте у √(2) раза
- В: Молекули зупиняться поблизу верхньої межі поршня
Підказка: За рівнянням Менделєєва–Клапейрона P ∝ T / V: що станеться з тиском P і швидкістю молекул при підвищенні температури T або зменшенні об’єму V?
Доведення: При вільному переміщенні поршня постійної маси процес є ізобарним (P = const). З рівняння Клапейрона V/T = const випливає, що нагрівання газу пропорційно піднімає поршень (V ∝ T), а середня кінетична енергія поступального руху молекул зростає за законом Eₖ = (3)/(2)k_B T.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
(V)/(T) = (ν R)/(P) = const, v_кв = √((3RT)/(M))
- Абсолютна температура T: 150 … 600 К (стандарт: 300 К)
- Зовнішній тиск на поршень P: 0.8 … 3 атм (стандарт: 1.5 атм)
- Кількість модельних частинок N: 20 … 70 мол (стандарт: 45 мол)