§ 3. Математичний та пружинний маятники (9–10 клас)
Порівняння періодів T = 2π√(L/g) та T = 2π√(m/k). Гармонічні коливання супроводжуються періодичним перетворенням потенціальної енергії зміщення у кінетичну енергію руху.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
Гармонічні коливання виникають у системах, де повертальна сила пропорційна зміщенню від положення рівноваги і спрямована до нього: Fₓ = -kx. У математичному маятнику повертальною силою є дотична складова тяжіння F_τ = -mgsin θ ≈ -mgθ = -(mg)/(L)s (при малих кутах θ ≪ 1 рад), а в пружинному маятнику, пружна сила Гука F = -ky.
Диференціальне рівняння вільних коливань з урахуванням в’язкого опору середовища має вигляд x + 2βx + ω₀² x = 0. Для математичного маятника власна циклічна частота ω₀ = √(g/L) і період формули Гюйгенса T₀ = 2π√(L/g) визначаються лише довжиною нитки L та прискоренням вільного падіння g. Для пружинного маятника ω₀ = √(k/m) та T₀ = 2π√(m/k) залежать від маси тягарця m і жорсткості пружини k, але не залежать від гравітації.
Під час коливань відбувається безперервне перетворення енергії двічі за кожен період: у крайніх точках уся енергія зосереджена в потенціальній (Eₚ), а при проходженні положення рівноваги, в кінетичній (Eₖ). Наявність дисипації (β > 0) зумовлює експоненціальне спадання амплітуди A(t) = A₀ e⁻β t і поступовий перехід механічної енергії у тепло Q.
Приклад із життя
Згадай гойдалку в парку або старовинний годинник із маятником! Чи बैठне на гойдалку легка дитина, чи дорослий, час одного гойдання залежить лише від довжини тросів L, а не від маси людини.
Контрольне запитання та розв’язання
Як зміниться період малих коливань математичного маятника T_мат та пружинного маятника T_пруж, якщо масу вантажу m збільшити в 4 рази?
- А: Період обох маятників збільшиться рівно у 2 рази
- Б: Період математичного маятника не зміниться, а пружинного, зросте у 2 рази
- В: Період математичного зросте у 2 рази, а пружинного не зміниться
Підказка: Подивись на формулу Гюйгенса T = 2π√(L/g): чи є в ній маса тягарця m, і як зміниться корінь √(L), якщо довжину нитки L збільшити?
Доведення: Для математичного маятника сила тяжіння й інертність пропорційні масі m, тому T_мат = 2π√(L/g) не залежить від маси! Натомість у пружинному маятнику повертаюча сила Гука F = -kx від маси не залежить, тому при збільшенні m у 4 рази період T_пруж = 2π√(m/k) зростає вдвічі.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
θ + 2γθ + (g)/(L)sin θ = 0, y + 2γy + (k)/(m)y = 0
- Довжина нитки L: 1.8 … 4.8 м (стандарт: 3.5 м)
- Початкова амплітуда θ₀: 10 … 75 ° (стандарт: 35 °)
- Маса вантажу m: 0.5 … 5 кг (стандарт: 2 кг)
- Жорсткість пружини k: 5 … 35 Н/м (стандарт: 14 Н/м)
- Коефіцієнт загасання γ: 0 … 0.25 с⁻¹ (стандарт: 0.02 с⁻¹)