§ 45. Закон Біо–Савара–Лапласа та котушки Гельмгольца (11 клас · ВНЗ)
Розрахунок магнітної індукції B(x) на осі колових витків зі струмом та створення високооднорідного поля між котушками Гельмгольца. Дві співвісні котушки на відстані, рівній їхньому радіусу, перетворюють викривлене поле витка на ідеально однорідне плато.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
За законом Біо–Савара–Лапласа, кожен нескінченно малий елемент провідника dl зі струмом I створює в точці з радіус-вектором r елементарну індукцію магнітного поля dB = (μ₀ I)/(4π)([dl × r])/(r³). Якщо проінтегрувати цей вираз уздовж колового витка радіуса R з N витками для точки на осі симетрії Ox на відстані x від центра, поперечні складові взаємно компенсуються, а осьова індукція становить B₁(x) = (μ₀ N I R²)/(2(R² + x²)³/2).
В одному витку поле в центрі максимальне, але швидко спадає при віддаленні вздовж осі (друга похідна (d² B₁)/(dx²) < 0). Щоб отримати високооднорідне магнітне поле у відкритому лабораторному об’ємі, Герман фон Гельмгольц запропонував поставити дві однакові співвісні котушки радіуса R зі співнапрямленими струмами на відстані d одна від одної: B(x) = B₁(x + d/2) + B₁(x - d/2).
У середній точці між котушками (x = 0) перша похідна (dB)/(dx) |₀ = 0 за симетрією зникає при будь-якому d. Якщо ж обрати відстань Гельмгольца d = R (відстань між котушками точно дорівнює їхньому радіусу!), то в центрі системи одночасно перетворюються на нуль і друга (d² B)/(dx²) |₀ = 0, і третя похідні поля! Завдяки цьому між котушками утворюється широке плато однорідного поля з індукцією B(0) = ≤ft((4)/(5) )^ 3/2(μ₀ N I)/(R) ≈ 0.7155(μ₀ N I)/(R).
Приклад із життя
Одна котушка зі струмом дає сильне магнітне поле лише в самому центрі, а далі воно швидко слабшає. Але якщо поставити дві однакові котушки на відстані, що точно дорівнює їхньому радіусу (d = R), спад поля від першої котушки ідеально компенсується підйомом від другої, утворюється рівний «стіл» однорідного поля!
Контрольне запитання та розв’язання
При якій відстані d між двома однаковими співвісними коловими котушками радіуса R зі співнапрямленими струмами магнітне поле в середній області між ними стає максимально однорідним (умова Гельмгольца)?
- А: Коли відстань між центрами котушок точно дорівнює їхньому радіусу (d = R): у цій точці друга похідна (d² Bₓ)/(dx²) обертається на нуль
- Б: Коли відстань між котушками набагато більша за їхній радіус (d ≫ R)
- В: Коли струми в котушках течуть у протилежних напрямках
Підказка: За якого співвідношення між відстанню між котушками d та їхнім радіусом R друга похідна магнітного поля в центрі (d² B)/(dx²) |ₓ=0 перетворюється на нуль (умова Гельмгольца)?
Доведення: Для одного колового витка B(x) = (μ₀ NIR²)/(2(R²+x²)³/2) точка перегину графіка (де (d²B)/(dx²) = 0) лежить на відстані x = ± R/2. Тому при розташуванні двох котушок на відстані d = R кривина спадання поля однієї котушки в центрі точно компенсується другою.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
B(x) = (μ₀ N I R²)/(2)≤ft[(1)/(≤ft(R² + (x - d/2)² )³/2) + (1)/(≤ft(R² + (x + d/2)² )³/2) ]
- Сила струму в обмотках I: 1 … 10 А (стандарт: 5 А)
- Радіус котушок R: 1.2 … 2.4 дм (стандарт: 1.8 дм)
- Відношення відстані до радіуса d/R (1.0 = Гельмгольц): 0.5 … 2 (стандарт: 1)
- Кількість витків у кожній котушці N: 10 … 40 (стандарт: 20)