§ 13. Рівняння Бернуллі та ефект Вентурі (10 клас)
Зв’язок швидкості потоку рідини та статичного тиску у трубі змінного перерізу. У стаціонарному потоці ідеальної нестисливої рідини сума статичного та динамічного тисків залишається сталою вздовж лінії течії.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
Стаціонарний ламінарний потік ідеальної нестисливої рідини (ρ = const) у трубі змінного перерізу підпорядковується двом фундаментальним законам. Перший, рівняння неперервності струменя: об’ємна витрата рідини Q_V = S₁ v₁ = S₂ v₂ = const однакова в кожному перерізі, тому у вузькій горловині труби Вентурі (S₂ < S₁) потік прискорюється у S₁/S₂ разів.
Другий, інтеграл Бернуллі (закон збереження механічної енергії для одиниці об’єму рідини): вздовж лінії течії сума статичного тиску p, динамічного (швидкісного) напору (1)/(2)ρ v² та гідростатичного тиску ρ g h є сталою: p₁ + (1)/(2)ρ v₁² = p₂ + (1)/(2)ρ v₂² = const (для горизонтальної труби h₁ = h₂).
Саме звідси випливає парадоксальний на перший погляд гідродинамічний ефект Вентурі: щоб рідина прискорилася при вході у вузьку ділянку (v₂ > v₁), на неї має діяти додатний перепад тиску p₁ - p₂ = (1)/(2)ρ v₁² ≤ft[≤ft((S₁)/(S₂) )² - 1 ] > 0. Отже, там, де швидкість потоку найбільша, статичний тиск на стінки труби (і рівень рідини у п’єзометричній трубці) є найменшим!
Приклад із життя
Коли затискаєш пальцем кінчик садового шланга, вода у вузькому отворі б’є значно швидше! І парадокс: саме там, де потік мчить найшвидше, його тиск на стінки труби падає. Завдяки цьому ефекту крило літака створює підйомну силу!
Контрольне запитання та розв’язання
Рідина тече горизонтальною трубкою Вентурі з широкої ділянки площею S₁ у вузьке горло площею S₂ < S₁. Як зміняться швидкість потоку v₂ та висота стовпчика рідини h₂ у п’єзометрі над вузькою ділянкою?
- А: У вузькому перерізі швидкість зменшиться, а тиск і рівень рідини h₂ зростуть
- Б: Швидкість потоку у звуженні зросте (v₂ = v₁ S₁/S₂), а статичний тиск і рівень стовпчика h₂ впадуть
- В: Швидкість зросте, але статичний тиск P у всіх перерізах залишиться однаковим
Підказка: У вузькому перерізі труби швидкість потоку v₂ зростає (A₁ v₁ = A₂ v₂). Що тоді має статися зі статичним тиском P₂, щоб сума P + (1)/(2)ρ v² залишилася сталою?
Доведення: За рівнянням нерозривності струменя S₁ v₁ = S₂ v₂, у вузькій горловині швидкість рідини зростає обернено пропорційно площі перерізу: v₂ = v₁ (D₁/D₂)². Згідно із законом збереження енергії (рівнянням Бернуллі), зростання динамічного напору (1)/(2)ρ v₂² неминуче супроводжується падінням статичного тиску: P₂ = P₁ - (1)/(2)ρ(v₂² - v₁²), тому стовпчик рідини в центральному манометрі опускається нижче за бічні.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
v₂ = v₁ ≤ft((D₁)/(D₂) )^ 2, Δ P = P₁ - P₂ = (ρ v₁²)/(2) ≤ft[≤ft((D₁)/(D₂) )^ 4 - 1 ]
- Швидкість на вході v₁: 0.6 … 2.8 м/с (стандарт: 1.5 м/с)
- Діаметр широкої труби D₁: 1.8 … 2.6 м (стандарт: 2.2 м)
- Діаметр горловини D₂: 0.8 … 1.7 м (стандарт: 1.2 м)
- Густина рідини ρ: 700 … 1400 кг/м³ (стандарт: 1000 кг/м³)