§ 5. Колиска Ньютона (9 клас)
Передача імпульсу та енергії ланцюжком сталевих куль. Одночасне виконання законів збереження імпульсу та механічної енергії однозначно визначає не лише сумарний імпульс, а й кількість куль, що відскакують.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
Колиска Ньютона наочно демонструє, що одного лише закону збереження імпульсу недостатньо для однозначного визначення результату удару, необхідне одночасне виконання і закону збереження імпульсу, і закону збереження механічної енергії. Коли N куль однакової маси m налітають зі швидкістю v₀ на ланцюжок нерухомих куль, через них поширюється пружний імпульс стиснення (хвиля Герца).
Припустимо, що після удару N куль зі швидкістю v₀ відскочило б k куль зі швидкістю u. Тоді із збереження імпульсу Nmv₀ = kmu та збереження кінетичної енергії N(mv₀²)/(2) = k(mu²)/(2) шляхом ділення другого рівняння на перше отримуємо u = v₀, а отже, обов’язково k = N. Тобто відлітає рівно стільки ж куль, скільки було відхилено на початку!
Якщо коефіцієнт відновлення e < 1 (неідеальна пружність сталі та втрати на акустичне випромінювання), під час кожного удару частина енергії розсіюється у тепло Q. Через це центральні кулі поступово набувають невеликої синфазної швидкості, а амплітуда коливань усієї системи згасає.
Приклад із життя
Знаменита настільна іграшка з кульками! Відхиляєш одну кульку ліворуч, і після клацання рівно одна кулька відлітає праворуч. Чому не дві з половинною швидкістю? Бо мають одночасно зберегтися і імпульс, і кінетична енергія!
Контрольне запитання та розв’язання
У колисці Ньютона з 5 однакових сталевих куль ліворуч відвели і відпустили одночасно N = 2 кулі зі швидкістю v. Чому з правого краю не може відскочити лише 1 куля з подвійною швидкістю 2v?
- А: Тому що тоді порушився б закон збереження імпульсу (2mv ≠ m(2v))
- Б: Імпульс би зберігся (2mv = m· 2v), але кінетична енергія зросла б удвічі ((1)/(2)m(2v)² = 2mv² > mv²), що неможливо!
- В: Тому що крайня куля має більший натяг нитки, ніж середні кулі
Підказка: Якби після удару однієї кулі зі швидкістю v відлетіли дві кулі зі швидкістю v/2, імпульс би зберігся (mv = 2m(v/2)), але порахуй сумарну кінетичну енергію (1)/(2)mv²!
Доведення: Якби відскочила одна куля зі швидкістю 2v, її імпульс дорівнював би 2mv (імпульс збережено), проте кінетична енергія становила б (1)/(2)m(2v)² = 2mv², тоді як до удару енергія двох куль дорівнювала 2·(1)/(2)mv² = mv². Єдиний розв’язок системи рівнянь, відскік рівно N_після = N_до куль зі швидкістю u = v!
Основні формули та параметри 3D-симуляції
N_після = N_до, u = v (при e = 1)
- Кількість відведених куль N: 1 … 3 шт (стандарт: 2 шт)
- Кут відведення θ₀: 15 … 55 ° (стандарт: 40 °)
- Коефіцієнт пружності сталі e: 0.7 … 1 (стандарт: 0.99)
- Довжина підвісу L: 2.4 … 4.2 м (стандарт: 3.4 м)