§ 20. Ефект Доплера та деформація хвильового фронту (9–11 клас)
Стиснення сферичних хвильових фронтів попереду рухомого джерела, зміщення частоти та конус Маха. Рух джерела хвиль стискає гребені хвильового фронту попереду себе, зменшуючи довжину хвилі λ′ і підвищуючи частоту для нерухомого приймача.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
Ефект Доплера (відкритий Крістіаном Доплером у 1842 р.) полягає в зміні частоти ν та довжини хвилі λ, які реєструє приймач, коли джерело хвиль та/або спостерігач рухаються відносно хвильового середовища. Фізична причина ефекту наочно видна на 3D-картині сферичних фронтів: кожен наступний гребінь хвилі випромінюється з нової точки простору, куди змістилося джерело за період T₀ = 1/ν₀.
Попереду джерела, що рухається зі швидкістю vₛ < cₛ, хвильові гребені стискаються: за період T₀ фронт проходить шлях cₛ T₀, а джерело наздоганяє його на vₛ T₀, тому довжина хвилі зменшується до λ_перед = (cₛ - vₛ)T₀ = λ₀ ≤ft(1 - (vₛ)/(cₛ) ), а частота зростає до ν_перед = (ν₀)/(1 - vₛ/cₛ). Позаду джерела фронти розтягуються: λ_зад = λ₀ ≤ft(1 + (vₛ)/(cₛ) ) і частота падає до ν_зад = (ν₀)/(1 + vₛ/cₛ).
Відношення швидкості джерела до швидкості хвилі M = vₛ / cₛ називається числом Маха. При наближенні vₛ → cₛ (M → 1) усі передні хвильові фронти накладаються в одній точці на носі джерела (звуковий бар’єр та ударний конус Маха з півкутом sin μ = cₛ/vₛ). Ефект Доплера використовується в медичному УЗД кровотоку, метеорадарах та астрофізиці (червоний зсув галактик).
Приклад із життя
Чув, як машина швидкої допомоги або гоночний болід проїжджає повз тебе: «ІІІ-і-і, УУУ-у-у»? Коли сирена мчить на тебе, вона «наздоганяє» власні звукові хвилі й стискає їх (звук вищий), а позаду хвилі розтягуються (звук стає низьким)!
Контрольне запитання та розв’язання
Джерело монохроматичних хвиль рухається праворуч зі швидкістю vₛ = 0.5 v, де v, швидкість поширення хвильового фронту в середовищі. Як зміняться відстань між сусідніми гребенями хвильового фронту λ₊ та частота f₊, яку реєструє нерухомий спостерігач попереду джерела?
- А: Довжина хвилі й частота не зміняться, бо швидкість хвилі в середовищі стала
- Б: Попереду джерела хвильові фронти стискаються вдвічі (λ₊ = 0.5λ₀), тому спостерігач фіксує вдвічі вищу частоту f₊ = 2 f₀
- В: Попереду джерела довжина хвилі розтягується, а частота падає вдвічі
Підказка: Що відбувається з довжиною хвилі λ_перед = λ₀(1 - vₛ/v) та частотою f попереду рухомого джерела порівняно з областю позаду нього?
Доведення: За один період випромінювання T₀ = 1/f₀ хвильовий фронт проходить шлях v T₀ = λ₀, але саме джерело встигає зміститися слідом за ним на vₛ T₀. Тому відстань між сусідніми фронтами попереду джерела скорочується до λ₊ = (v - vₛ)T₀ = λ₀(1 - M), а частота зростає до f₊ = (f₀)/(1 - M) (при M = 0.5 отримуємо f₊ = 2f₀).
Основні формули та параметри 3D-симуляції
f₊ = (f₀)/(1 - vₛ/v), f₋ = (f₀)/(1 + vₛ/v), sin θ_Маха = (v)/(vₛ)
- Число Маха джерела M = vₛ / v: 0 … 1.25 (стандарт: 0.55)
- Швидкість хвильового фронту v: 2.2 … 5 м/с (стандарт: 3.6 м/с)
- Власна частота джерела f₀: 1 … 3.5 Гц (стандарт: 2 Гц)
- Інтенсивність гребенів фронту I₀: 0.5 … 1.5 од. (стандарт: 1 од.)