§ 18. Момент інерції та енергія кочення (10–11 клас · ВНЗ)
Змагання суцільного циліндра та порожнистого обруча на похилій площині без проковзування. Під час кочення без проковзування потенціальна енергія переходить одночасно у поступальну та обертальну кінетичну енергію: перемагає тіло з меншим відносним моментом інерції.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
Коли осесиметричне тверде тіло масою m і радіусом R котиться без проковзування по похилій площині (v = ω R), його повна кінетична енергія за теоремою Кеніга складається з енергії поступального руху центра мас E_пост = (1)/(2)mv² та енергії обертання навколо власної осі E_об = (1)/(2)Iω².
Момент інерції тіла зручно записати через безрозмірний коефіцієнт розподілу маси β = (I)/(mR²): для суцільної кулі β = 0.4, для суцільного диска чи циліндра β = 0.5, а для тонкостінного обруча (труби), де вся маса віддалена на край обода, β = 1.0. Тоді закон збереження енергії має вигляд mgh = (1)/(2)mv²(1 + β), а лінійне прискорення центра мас уздовж схилу дорівнює a = (gsin α)/(1 + β).
Зверніть увагу на фундаментальний результат: прискорення кочення a не залежить ані від маси m, ані від радіуса R, а визначається виключно геометрією розподілу маси β! Оскільки в обруча β = 1.0 рівно половина (50%) потенціальної енергії витрачається на розкручування обода, а в суцільного диска (β = 0.5), лише третина (33.3%), суцільний диск або куля завжди перемагають обруч у перегонах по схилу.
Приклад із життя
Влаштуй перегони з гірки між суцільною кулею (більярдною) та порожнистим обручем або кільцем скотчу! Куля завжди виграє: у обруча вся маса розташована далеко від центра на ободі, тому йому набагато важче розкручуватися.
Контрольне запитання та розв’язання
З вершини похилої площини одночасно без початкової швидкості пускають котитися без проковзування суцільний диск (β = 0.5) та тонкостінний обруч (β = 1.0) однакової маси й радіуса. Яке тіло дістанеться основи першим?
- А: Обидва тіла фінішують одночасно, бо мають однакову масу m і радіус R
- Б: Суцільний диск прийде першим, бо має менший коефіцієнт моменту інерції β = 0.5, і менша частка енергії витрачається на його розкручування
- В: Обруч фінішує першим, бо вся його маса зосереджена на ободі
Підказка: Порівняй коефіцієнт інерції β = I/(mR²): у кого він менший, у суцільної кулі (β = 0.4) чи в тонкого обруча (β = 1.0), і хто тому отримує більше лінійне прискорення a = (gsin α)/(1+β)?
Доведення: За законом збереження енергії mgh = (1)/(2)mv² + (1)/(2)Iω² = (1)/(2)mv²(1 + β), де β = I/(mR²). Звідси лінійне прискорення осі тіла дорівнює a = (gsin α)/(1 + β). Оскільки для суцільного циліндра β = 0.5 (a = (2)/(3)gsin α), а для тонкого обруча β = 1.0 (a = (1)/(2)gsin α), суцільний циліндр або куля завжди випереджають обруч незалежно від маси та радіуса!
Основні формули та параметри 3D-симуляції
a = (gsin α)/(1 + β), v_кін = √((2gh)/(1 + β)), (E_об)/(E_пост) = β
- Коефіцієнт інерції β = I/(mR²): 0.2 … 1 (стандарт: 0.5)
- Кут нахилу площини α: 14 … 40 ° (стандарт: 26 °)
- Радіус тіла кочення R: 0.45 … 0.9 м (стандарт: 0.65 м)
- Маса тіла m: 1 … 4 кг (стандарт: 2 кг)