§ 44. Модель атома Бора, хвилі де Бройля та спектральні серії (9–11 клас)
Квантування моменту імпульсу Lₙ = nℏ, стоячі хвилі де Бройля 2πrₙ = nλ_дБ та випромінювання спектральних ліній Рідберга. На дозволеній орбіті Бора вкладається ціле число довжин хвиль де Бройля електрона, тому стояча хвиля не випромінює.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
У класичній електродинаміці електрон, що обертається навколо ядра з доцентровим прискоренням aₙ = v²/r, мав би безперервно випромінювати електромагнітні хвилі, втратити енергію за sim 10⁻¹¹ с і впасти на ядро. Щоб розв’язати цю кризу, Нільс Бор у 1913 році сформулював квантові постулати: атом може перебувати лише у дискретних стаціонарних станах із моментами імпульсу Lₙ = mₑ vₙ rₙ = nℏ (n = 1, 2, 3, …), у яких електрон не випромінює.
У 1924 році Луї де Бройль розкрив глибокий хвильовий зміст правила квантування Бора: електрон має довжину хвилі де Бройля λ_B = (h)/(mₑ vₙ), і стаціонарна орбіта стійка лише тоді, коли вздовж її кола 2π rₙ вкладається ціле число n стоячих хвиль де Бройля: 2π rₙ = nλ_B (інакше хвиля гасить сама себе внаслідок інтерференції!). Радіуси дозволених орбіт атома водню ростуть квадратично rₙ = n² a₀ (a₀ = 0.0529 нм, борівський радіус), а рівні енергії квантуються як Eₙ = -(13.6 еВ)/(n²).
Випромінювання або поглинання кванта світла відбувається лише під час стрибка електрона між двома орбітами nᵢ → n_f: hν = |Eₙᵢ - Eₙ_f|, що дає спектральну формулу Рідберга: (1)/(λ) = R_H ≤ft|(1)/(n_f²) - (1)/(nᵢ²) | (R_H = 1.097× 10⁷ м⁻¹), яка з високою точністю пояснює ультрафіолетову серію Лаймана (n_f = 1), видиму серію Бальмера (n_f = 2) та інфрачервону серію Пашена (n_f = 3).
Приклад із життя
Електрон в атомі схожий на людину на сходах: він може стояти лише на сходинках n = 1, 2, 3…, але ніколи, в повітрі між ними! Чому? Бо електрон, це водночас хвиля, і орбіта стійка лише тоді, коли вздовж кола вкладається ціле число його хвиль де Бройля. Стрибаючи на нижчу сходинку, атом випускає спалах світла (фотон)!
Контрольне запитання та розв’язання
Чому за гіпотезою де Бройля електрон може перебувати лише на дискретних борівських орбітах з радіусами rₙ = n² a₀, де момент імпульсу Lₙ = nℏ?
- А: Тому що вздовж колової орбіти має вкладатися ціле число n довжин хвиль де Бройля (2π rₙ = n (h)/(pₙ)), інакше хвиля гасить сама себе внаслідок інтерференції
- Б: Тому що кулонівська сила діє лише на цілих відстанях від ядра
- В: Тому що швидкість електрона на всіх орбітах однакова
Підказка: Скільки повних довжин хвиль де Бройля λ_B = h/(mₑ v) має вкластися вздовж кола стаціонарної орбіти з квантовим числом n, щоб стояча хвиля не загасила сама себе?
Доведення: Підставивши довжину хвилі де Бройля λ_дБ = (h)/(mₑ vₙ) в умову замкненої стоячої хвилі на колі 2π rₙ = nλ_дБ, одразу отримуємо правило квантування Бора mₑ vₙ rₙ = n(h)/(2π) = nℏ. При переході з вищого рівня nᵢ на нижчий n_f випромінюється фотон з енергією hν = Eₙᵢ - Eₙ_f.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
2π rₙ = nλ_дБ, Eₙ = -(13.6 еВ)/(n²), Δ E = 13.6≤ft((1)/(n_f²) - (1)/(nᵢ²) ) еВ
- Початковий квантовий рівень nᵢ: 2 … 4 (стандарт: 3)
- Кінцевий квантовий рівень n_f: 1 … 3 (стандарт: 2)
- Амплітуда стоячої хвилі де Бройля: 0.1 … 0.45 відн. (стандарт: 0.25 відн.)