§ 39. Ефект Магнуса та підіймальна сила обертового циліндра (10 клас)
Виникнення поперечної підіймальної сили F_M при обтіканні обертового циліндра потоком внаслідок циркуляції швидкості Γ. Обертання тіла захоплює примежовий шар повітря, створюючи асиметрію швидкостей і поперечний градієнт тиску Бернуллі.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
Ефект Магнуса (описаний Генріхом Магнусом у 1852 р.), це виникнення поперечної підіймальної (або бічної) сили F_M, що діє на тіло (циліндр, м’яч, снаряд), яке одночасно рухається поступально в потоці газу чи рідини зі швидкістю v_∞ та обертається навколо власної осі з кутовою швидкістю ω.
Через в’язке прилипання граничного шару повітря обертовий циліндр радіусом R створює навколо себе вихрову циркуляцію швидкості Gamma = ∮ v· dl = 2π R² ω. На тій стороні циліндра, де лінійна швидкість поверхні ω R збігається з напрямком набігаючого потоку v_∞, швидкості додаються (v_верх = v_∞ + ω R); на протилежній стороні потік гальмується (v_низ = v_∞ - ω R). За рівнянням Бернуллі p + (1)/(2)ρ v² = const, там, де швидкість більша, статичний тиск менший (p_верх < p_низ)!
Інтегрування різниці тисків по поверхні циліндра довжиною L дає теорему Жуковського–Кутти: підіймальна сила на одиницю розмаху дорівнює добутку густини середовища ρ, швидкості потоку v_∞ та циркуляції Gamma: F_M = ρ v_∞ Gamma L = 2π ρ R² L ω v_∞. Саме ефект Магнуса змушує підкручений футбольний чи тенісний м’яч закручуватися в польоті по дузі й використовується в турбовітрилах суден Флеттнера.
Приклад із життя
Бачив у футболі знаменитий «сухий лист» або кручений удар зі штрафного, коли м’яч у польоті огинає стінку гравців по дузі? Обертаючись, м’яч з одного боку пришвидшує зустрічне повітря, а з іншого, гальмує. Через різницю тисків Бернуллі виникає бічна сила Магнуса!
Контрольне запитання та розв’язання
Куди напрямлена поперечна сила Магнуса F_M, якщо потік повітря набігає зліва направо (+X), а горизонтальний циліндр обертається так, що його верхня поверхня рухається за потоком?
- А: Вертикально вгору (+Y): над циліндром швидкість потоку додається до лінійної швидкості поверхні (v_верх > v_низ), тому за законом Бернуллі тиск зверху менший, ніж знизу
- Б: Вертикально вниз (-Y), оскільки зверху тиск повітря зростає
- В: Сила Магнуса діє лише вздовж потоку і не створює підіймальної складової
Підказка: З якого боку обертового циліндра тиск повітря нижчий (і туди відхиляється м’яч), де лінійна швидкість поверхні збігається з потоком чи де вона напрямлена назустріч потоку?
Доведення: Там, де поверхня обертового циліндра рухається попутно з набігаючим потоком, результуюча швидкість течії більша (v + ω R), а статичний тиск за рівнянням Бернуллі P + (1)/(2)ρ v² = const, менший. Різниця тисків створює поперечну підіймальну силу Жуковського–Магнуса F_M = ρ v_∞ Gamma L.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
F_M = ρ v_∞ Gamma L = 2π ρ R² L ω v_∞, Gamma = 2π R² ω
- Швидкість набігаючого потоку v_∞: 3 … 15 м/с (стандарт: 8 м/с)
- Кутова швидкість циліндра ω: -40 … 40 рад/с (стандарт: 25 рад/с)
- Радіус ротора R: 0.8 … 1.8 дм (стандарт: 1.2 дм)
- Густина середовища ρ: 0.6 … 2.4 кг/м³ (стандарт: 1.25 кг/м³)