§ 15. Сила Лоренца та циклотронна спіраль у 3D (11 клас)
Рух зарядженої частинки по гвинтовій лінії (спіралі) в однорідному полі B. Оскільки сила Лоренца завжди перпендикулярна до швидкості частинки, вона не виконує механічної роботи, але викривляє траєкторію у коло або тривимірну гвинтову спіраль.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
На точковий заряд q, що рухається зі швидкістю v в однорідному магнітному полі з індукцією B, діє магнітна сила Лоренца: F_L = q[v × B]. За визначенням векторного добутку, вектор F_L у кожній точці траєкторії строго перпендикулярний як до ліній поля B, так і до миттєвої швидкості v. Тому потужність сили Лоренца тотожно дорівнює нулю (P = F_L · v = 0), а кінетична енергія та модуль швидкості частинки в магнітному полі залишаються незмінними!
Якщо швидкість v утворює кут α з вектором B, рух розкладається на два незалежні рухи: рівномірний поступальний рух уздовж ліній поля зі швидкістю v_∥ = vcos α = const та рівномірне обертання в перпендикулярній площині зі швидкістю v_⊥ = vsin α. Доцентрове прискорення забезпечується силою Лоренца: (mv_⊥²)/(R) = |q|v_⊥ B, звідки ларморівський (циклотронний) радіус R = (mvsin α)/(|q|B).
Суперпозиція обертання та поздовжнього дрейфу утворює в 3D-просторі гвинтову лінію (спіраль). Період одного оберту T = (2π R)/(v_⊥) = (2π m)/(|q|B) та циклотронна частота ω_c = (|q|B)/(m) (у нерелятивістській границі) не залежать від швидкості частинки, а крок спіралі дорівнює h = v_∥ T = (2π m vcos α)/(|q|B). На цьому принципі працюють циклотрони, мас-спектрометри та магнітні пастки плазми.
Приклад із життя
Магнітне поле Землі працює як невидимий щит: воно закручує заряджені частинки сонячного вітру у спіралі вздовж магнітних ліній до полюсів, де вони світяться як полярне сяйво! Магніт повертає частинку, але ніколи не змінює модуль її швидкості.
Контрольне запитання та розв’язання
Заряджена частинка влітає в однорідне магнітне поле індукцією B під гострим кутом α до силових ліній. Як зміниться кінетична енергія частинки Eₖ та форма її траєкторії при збільшенні індукції поля B удвічі?
- А: Кінетична енергія зросте вдвічі, а частинка полетить вздовж прямої лінії
- Б: Кінетична енергія Eₖ не зміниться (оскільки F_L ⊥ v і робота A = 0), а радіус витків гвинтової спіралі R зменшиться вдвічі
- В: Частинка миттєво зупиниться через гальмування магнітним полем
Підказка: Сила Лоренца F_L = q[v × B] завжди перпендикулярна до швидкості v. Чи може сила, перпендикулярна до переміщення, виконувати роботу й змінювати кінетичну енергію?
Доведення: Сила Лоренца F_L = q[v×B] у кожній точці перпендикулярна до вектора швидкості v, тому її елементарна робота дорівнює нулю (dA = F_L· dr = 0), а модуль швидкості та кінетична енергія Eₖ = const залишаються незмінними. Поперечна складова швидкості v_⊥ = vsin α зумовлює обертання по колу радіуса R = (mvsin α)/(|q|B), а поздовжня складова v_∥ = vcos α рівномірно переносить частинку вздовж поля B, утворюючи 3D-спіраль.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
R = (m v sin α)/(|q| B), h = (2π m v cos α)/(|q| B), A_Лор = 0
- Магнітна індукція поля B: 0.6 … 3 Тл (стандарт: 1.5 Тл)
- Початкова швидкість частинки v₀: 2 … 6.5 м/с (стандарт: 4.2 м/с)
- Кут вльоту до ліній поля α: 25 … 90 ° (стандарт: 68 °)
- Питомий заряд частинки |q|/m: 0.8 … 3.2 Кл/кг (стандарт: 1.8 Кл/кг)