§ 29. Механічна напруга та модуль Юнга при розтягу (7–10 клас)
Механічна напруга σ, відносне видовження ε та модуль пружності Юнга E при розтягу стрижня. Механічна напруга в межах пружності прямо пропорційна відносному видовженню зразка: σ = E·ε.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
Класична формула Гука F = kΔ L залежить від геометричних розмірів конкретного стрижня (його довжини L₀ та площі поперечного перерізу S). Щоб сформулювати закон пружності як фундаментальну властивість самого матеріалу, Томас Юнг увів поняття механічної напруги σ = (F)/(S) (у паскалях, Па = Н/м²) та відносного видовження ε = (Δ L)/(L₀) (безрозмірна величина або у відсотках).
У межах пружних деформацій механічна напруга прямо пропорційна відносному видовженню (закон Гука в диференціальній формі): σ = Eε, звідки абсолютне видовження стрижня дорівнює Δ L = (F L₀)/(E S), а еквівалентна жорсткість k = (ES)/(L₀). Коефіцієнт пропорційності E називається модулем Юнга і характеризує опір кристалічної ґратки матеріалу розтягу або стиску (наприклад, для гуми E sim 0.01 ГПа, для алюмінію E ≈ 70 ГПа, для сталі E ≈ 200 ГПа).
Об’ємна густина потенціальної енергії пружно деформованого стрижня дорівнює площі під діаграмою розтягу σ(ε): w = (1)/(2)σε = (1)/(2)Eε² = (σ²)/(2E), а повна накопичена пружна енергія становить Eₚ = (1)/(2)FΔ L. При розтягу стрижень також зазнає поперечного стиснення (коефіцієнт Пуассона ν = -ε_⊥ / ε_∥), що відображено в 3D-деформації зразка.
Приклад із життя
Коли ти розтягуєш еспандер, пружину динамометра або коли сталевий трос мосту тримає важкі авто, метал трохи видовжується. Поки навантаження помірне, видовження Δ L прямо пропорційне силі, як чесна лінійка!
Контрольне запитання та розв’язання
Два дроти з однакового матеріалу (модуль Юнга E) мають однакову довжину l₀ і розтягуються однаковою силою F, але діаметр другого дроту вдвічі більший (d₂ = 2d₁). У скільки разів відрізнятиметься їхнє абсолютне видовження Δ l?
- А: Видовження другого дроту буде вдвічі меншим (Δ l₂ = Δ l₁ / 2)
- Б: Видовження другого дроту буде в 4 рази меншим (Δ l₂ = Δ l₁ / 4), бо площа перерізу S = π d² / 4 зросла вчетверо
- В: Видовження буде однаковим, оскільки обидва дроти виготовлені з одного металу
Підказка: За законом Гука Δ L = (F L₀)/(E A): якщо збільшити площу поперечного перерізу стрижня A або модуль Юнга матеріалу E, видовження Δ L збільшиться чи зменшиться?
Доведення: Із закону Гука Δ l = (F l₀)/(E S). Площа поперечного перерізу круглого стрижня пропорційна квадрату діаметра: S = (π d²)/(4). Тому збільшення діаметра вдвічі збільшує площу перерізу в 4 рази та зменшує механічну напругу σ = F/S і абсолютне видовження Δ l рівно в 4 рази.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
σ = (F)/(S) = E(Δ l)/(l₀), Δ l = (4 F l₀)/(π d² E), W_пр = (F Δ l)/(2)
- Розтягувальне навантаження F: 2 … 16 кН (стандарт: 8 кН)
- Модуль Юнга матеріалу E: 2 … 20 ×10¹⁰ Па (стандарт: 7 ×10¹⁰ Па)
- Діаметр зразка d: 4 … 10 мм (стандарт: 6 мм)
- Початкова база зразка l₀: 1.2 … 2.8 м (стандарт: 2 м)