§ 1. Закон збереження імпульсу (9 клас)
Пружне та непружне зіткнення куль, обмін імпульсами. У замкненій механічній системі векторна сума імпульсів усіх тіл залишається сталою за будь-яких взаємодій між ними.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
У замкненій механічній системі, де зовнішні сили врівноважені або відсутні (∑ F_зовн = 0), за ІІІ законом Ньютона внутрішні сили ударної взаємодії двох тіл у кожну мить рівні за модулем і протилежні за напрямком: F₁₂ = -F₂₁. Тому сумарний імпульс системи p = m₁v₁ + m₂v₂ залишається строго інваріантним при будь-якому характері зіткнення, від абсолютно пружного до повністю пластичного.
Характер деформації тіл визначається коефіцієнтом відновлення e = (|v'₂ - v'₁|)/(|v₁ - v₂|) ∈ [0, 1]. У системі відліку центра мас зі швидкістю v_C = (m₁ v₁ + m₂ v₂)/(m₁ + m₂) після удару швидкості тіл становлять v'₁ = v_C - e (m₂)/(m₁ + m₂)(v₁ - v₂) та v'₂ = v_C + e (m₁)/(m₁ + m₂)(v₁ - v₂). Частина початкової кінетичної енергії переходить у внутрішню теплову енергію деформації: Q = (1)/(2)μ (v₁ - v₂)² (1 - e²), де μ = (m₁ m₂)/(m₁ + m₂), зведена маса двочастинкової системи.
Змінюючи повзунками відношення мас m₁/m₂ та пружність e, простежте два граничні режими: при e = 1 і m₁ = m₂ кулі повністю обмінюються швидкостями (Q = 0), а при e = 0 тіла злипаються і рухаються як єдине ціле зі швидкістю центра мас v_C. Цей принцип лежить в основі балістичних маятників, розрахунку сповільнювачів нейтронів у ядерних реакторах та аналізу зіткнень елементарних частинок у колайдерах.
Приклад із життя
Уяви дві більярдні кулі або зіткнення вагонів на залізниці. Навіть якщо кулі м’які (як пластилін) і нагріваються при ударі, їхній спільний «розгін» (імпульс mv) нікуди не зникає, бо ззовні їх ніхто не штовхав!
Контрольне запитання та розв’язання
Куля масою m₁ = 2 кг рухається зі швидкістю v₁ = 4 м/с і абсолютно пружно (e = 1) центрально вдаряє нерухому кулю такої самої маси m₂ = 2 кг. Якими будуть швидкості куль після удару?
- А: Обидві кулі рухатимуться разом зі швидкістю u = 2 м/с
- Б: Перша куля зупиниться (v₁' = 0), а друга отримає всю її швидкість (v₂' = 4 м/с)
- В: Перша куля відскочить назад зі швидкістю -4 м/с, а друга залишиться на місці
Підказка: Подумай: під час удару кулі тиснуть лише одна на одну (внутрішні сили F₁₂ = -F₂₁). Чи змінюють внутрішні сили загальний імпульс системи, і куди дівається частина механічної енергії при непружному ударі?
Доведення: Згідно із законами збереження імпульсу та механічної енергії, при центральному абсолютно пружному зіткненні (e=1) двох куль однакової маси (m₁ = m₂) відбувається повний обмін швидкостями. Якщо ж удар непружний (e < 1), частина кінетичної енергії переходить у внутрішню теплову енергію Δ Q = (1)/(2)μ_зв v_відн² (1 - e²).
Основні формули та параметри 3D-симуляції
v₁' = ((m₁ - e m₂)v₁ + (1+e)m₂ v₂)/(m₁ + m₂), v₂' = ((m₂ - e m₁)v₂ + (1+e)m₁ v₁)/(m₁ + m₂)
- Маса першої кулі m₁: 0.5 … 6 кг (стандарт: 2 кг)
- Маса другої кулі m₂: 0.5 … 6 кг (стандарт: 2 кг)
- Початкова швидкість v₁: 1 … 8 м/с (стандарт: 4 м/с)
- Початкова швидкість v₂: -4 … 3 м/с (стандарт: 0 м/с)
- Коефіцієнт відновлення e: 0 … 1 (стандарт: 1)
- Прицільний параметр Δz: -0.6 … 0.6 м (стандарт: 0 м)