§ 30. Формула Торрічеллі: витікання рідини з резервуара (7–10 клас)
Швидкість витікання ідеальної рідини з малого отвору під дією гідростатичного напору h. Рідина, що витікає з малого отвору на глибині h, має таку саму швидкість, яку мало б тіло при вільному падінні з висоти h.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
У 1643 році учень Галілея Еванджеліста Торрічеллі встановив дивовижний факт: швидкість витікання струменя ідеальної рідини з малого бічного отвору у відкритій посудині на глибині h під вільною поверхнею точно дорівнює швидкості, якої набуло б будь-яке тверде тіло при вільному падінні у вакуумі з тієї самої висоти h: v = √(2gh).
Строге доведення формули Торрічеллі випливає з рівняння Бернуллі, записаного для лінії течії від вільної поверхні резервуара (переріз S₁, висота H, атмосферний тиск p₀) до вихідного сопла (переріз S₂ ≪ S₁, висота y = H - h, де струмінь у повітрі також перебуває під атмосферним тиском p₀): p₀ + ρ g H + (1)/(2)ρ v₁² = p₀ + ρ g (H - h) + (1)/(2)ρ v₂². Оскільки при S₂ ≪ S₁ швидкість опускання рівня v₁ = v₂(S₂/S₁) ≈ 0, густина рідини ρ скорочується і ми отримуємо v₂ = √(2gh).
Виходячи горизонтально з сопла на висоті y = H - h від основи зі швидкістю v = √(2gh), струмінь падає за час t = √(2(H - h)/g) і б’є на горизонтальну відстань L(h) = v t = 2√(h(H - h)). Ця функція симетрична відносно заміни h ≤ftrightarrow H - h і досягає абсолютного максимуму Lₘax = H рівно посередині висоти стовпа рідини (h = H/2).
Приклад із життя
Якщо зробити маленький отвір унизу високої пластикової пляшки з водою, струмінь вилітає з такою самою швидкістю, яку мала б крапля, вільно впавши з рівня поверхні води! Що вищий стовп води над отвором, то сильніше б’є фонтан.
Контрольне запитання та розв’язання
У вертикальній циліндричній посудині, заповненій водою до висоти H, просвердлено малі отвори на різних глибинах h від вільної поверхні. На якій глибині h має бути розташований отвір, щоб горизонтальна дальність польоту струменя x на рівень дна посудини була максимальною?
- А: Біля самого дна (h → H), де гідростатичний тиск і швидкість витікання найбільші
- Б: Рівно посередині висоти стовпа рідини (h = H/2), де дальність досягає максимуму xₘax = H
- В: Поблизу поверхні води (h → 0), де час польоту струменя найбільший
Підказка: За формулою Торрічеллі швидкість витікання струменя v = √(2gh) визначається висотою стовпа рідини h над отвором і не залежить від густини ідеальної рідини.
Доведення: Швидкість витікання на глибині h за формулою Торрічеллі дорівнює v = √(2gh), а час падіння струменя з висоти (H - h) до рівня дна становить t = √(2(H - h)/g). Горизонтальна дальність x = vt = 2√(h(H - h)) є симетричною відносно h та (H - h) і досягає максимуму xₘax = H рівно посередині резервуара при h = H/2.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
v = √(2gh), x = 2√(h(H - h)), xₘax = H (h = H/2)
- Рівень води в башті H: 2.6 … 5 м (стандарт: 4.4 м)
- Глибина досліджуваного сопла h: 0.4 … 4.2 м (стандарт: 2.2 м)
- Коефіцієнт швидкості сопла φ: 0.8 … 1 (стандарт: 0.98)
- Густина рідини ρ: 0.8 … 1.8 г/см³ (стандарт: 1 г/см³)