§ 38. Гіроскопічна прецесія важкої симетричної дзиґи (10–11 клас · ВНЗ)
Прецесія вектора власного моменту імпульсу L навколо вертикалі під дією моменту сили тяжіння M = [r × mg]. Вісь швидкого гіроскопа рухається не туди, куди її штовхає сила, а в напрямку вектора моменту цієї сили.
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
Чому важка дзиґа або гіроскоп, вісь якої нахилена під кутом θ до вертикалі, не падає вниз під дією сили тяжіння, а натомість плавно описує конус у горизонтальній площині? Відповідь дає основне рівняння динаміки обертального руху у векторній формі: швидкість зміни вектора моменту імпульсу тіла дорівнює вектору моменту зовнішніх сил (dL)/(dt) = M.
Масивний ротор, розкручений із великою кутовою швидкістю ωₛ, має потужний власний момент імпульсу L = Iωₛ, спрямований уздовж осі симетрії дзиґи. Сила тяжіння mg, прикладена в центрі мас на відстані l від точки опори O, створює відносно O момент сили M = [r × mg] модулем M = mglsin θ, який за правилом правого гвинта перпендикулярний до вертикальної площини нахилу осі (тобто горизонтальний і ортогональний до L!).
Оскільки приріст dL = M dt перпендикулярний до самого вектора L, він не змінює його довжину, а лише повертає кінець вектора L по горизонтальному колу радіуса Lsin θ. Кутова швидкість цієї регулярної гіроскопічної прецесії дорівнює Ωₚ = (M)/(Lsin θ) = (mgl)/(Iωₛ): що швидше крутиться ротор ωₛ, то повільніше і стабільніше прецесує гіроскоп!
Приклад із життя
Чому дитяча дзиґа (юла) або колесо велосипеда на ходу не падає на бік, хоча земне тяжіння тягне його вниз? Замість падіння вісь швидко розкрученої дзиґи плавно описує коло в горизонтальній площині, це дивовижне явище називається гіроскопічною прецесією!
Контрольне запитання та розв’язання
Як зміниться кутова швидкість прецесії гіроскопа Ω_прец = (mgd)/(Iω), якщо розкрутити маховик до вдвічі більшої власної кутової швидкості ω?
- А: Кутова швидкість прецесії Ω_прец зменшиться вдвічі: більший власний момент імпульсу L = Iω робить вісь гіроскопа стійкішою до зовнішнього моменту сили
- Б: Кутова швидкість прецесії Ω_прец зросте вдвічі
- В: Швидкість прецесії не залежить від швидкості обертання маховика ω
Підказка: Подивись на формулу кутової швидкості прецесії Ωₚ = (mgd)/(Iωₛ): де стоїть власна кутова швидкість обертання маховика ωₛ, у чисельнику чи в знаменнику?
Доведення: З рівняння моментів dL = Lsin θ Ω_прец dt = mgdsin θ dt випливає формула Ω_прец = (mgd)/(Iω). Отже, чим більший власний момент імпульсу L = Iω, тим повільніше прецесує вісь ротора.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
Ω_прец = (m g d)/(I ω), L = I ω, M = m g d sin θ
- Власна кутова швидкість ротора ω: 15 … 70 рад/с (стандарт: 35 рад/с)
- Маса маховика гіроскопа m: 1 … 3.5 кг (стандарт: 2 кг)
- Плече центру мас відносно опори d: 0.6 … 2 м (стандарт: 1.2 м)
- Кут нутації (нахилу осі) θ: 15 … 55 ° (стандарт: 32 °)