§ 31. Розподіл Максвелла та характерні швидкості газу (10–11 клас · ВНЗ)
Статистичний закон розподілу молекул ідеального газу за модулями швидкостей та характерні швидкості. Хаотичні зіткнення міріад молекул формують строго визначений статистичний профіль густини ймовірності f(v).
Теоретичний конспект і фізико-хімічний механізм
Хоча середня кінетична енергія молекул газу однозначно задається температурою T, унаслідок безперервних випадкових зіткнень окремі молекули мають найрізноманітніші швидкості, від майже нульових до надзвукових. У 1859 році Джеймс Клерк Максвелл вивів фундаментальну функцію густини ймовірності модулів швидкостей молекул у стані термодинамічної рівноваги: f(v) = 4π ≤ft((M)/(2π R T) )^ 3/2 v² exp ≤ft(-(M v²)/(2 R T) ).
Структура розподілу Максвелла визначається конкуренцією двох множників: параболічного множника v² (об’єм сферичного шару 4π v² dv у просторі швидкостей, через який частка зовсім повільних молекул прямує до нуля) та експоненціального больцманівського множника exp ≤ft(-(εₖ)/(k_B T) ), що обмежує ймовірність великих енергій.
Розподіл характеризується трьома строго впорядкованими характерними швидкостями (v_імов < langle v rangle < v_кв): 1) найбільш імовірна швидкість (максимум купола df/dv = 0) v_імов = √((2RT)/(M)); 2) середня арифметична швидкість langle v rangle = √((8RT)/(π M)) ≈ 1.128 v_імов; 3) середня квадратична швидкість (що визначає тиск і внутрішню енергію газу) v_кв = √((3RT)/(M)) ≈ 1.225 v_імов. При нагріванні або зменшенні молярної маси M (перехід від Xe до He) крива зміщується праворуч і розширюється за умови нормування ∫₀^∞ f(v) dv = 1.
Приклад із життя
Молекули повітря в кімнаті схожі на натовп людей на жвавій площі: хтось зупинився на мить після зіткнення, більшість рухається із середньою швидкістю (sim 500 м/с!), а окремі «спринтери» летять удвічі швидше. При нагріванні весь цей розподіл зсувається до більших швидкостей!
Контрольне запитання та розв’язання
Як змінюється форма кривої розподілу Максвелла f(v) при підвищенні абсолютної температури газу T (при незмінній загальній кількості молекул)?
- А: Максимум кривої зміщується в бік більших швидкостей (vₚ ∝ √(T)), а висота максимуму знижується, бо площа під кривою завжди дорівнює одиниці (∫₀^∞ f(v) dv = 1)
- Б: Максимум кривої росте вгору на тій самій швидкості vₚ
- В: Усі молекули набувають однакової швидкості v_кв і крива звужується в лінію
Підказка: Коли температура газу T зростає або молярна маса M зменшується, куди зміщується максимум кривої розподілу Максвелла (vₚ = √(2RT/M)) і як змінюється його висота?
Доведення: Оскільки умова нормування ∫₀^∞ f(v) dv = 1 зберігає площу під графіком незмінною, при нагріванні газу найбільш імовірна швидкість vₚ = √(2RT/M) зростає, крива розширюється праворуч, а її пікове значення f(vₚ) ∝ 1/√(T) відповідно зменшується.
Основні формули та параметри 3D-симуляції
vₚ = √((2RT)/(M)), langle vrangle ≈ 1.128 vₚ, v_кв ≈ 1.225 vₚ
- Абсолютна температура газу T: 150 … 900 К (стандарт: 350 К)
- Молярна маса газу M (4=He, 28=N₂, 44=CO₂): 4 … 64 г/моль (стандарт: 28 г/моль)
- Число візуалізованих молекул N: 40 … 140 шт. (стандарт: 90 шт.)
- Поріг активації v_пор / vₚ: 0.8 … 2 (стандарт: 1.2)